वैदिक गणित के 16 सूत्र,उनके अर्थ ,प्रयोग और उदाहरण

1.एकाधिकेन पूर्वेण
   
 अर्थ:  पूर्व वाले से एक अधिक 
 प्रयोग: आवर्ती दशमलव भिन्न[recurring decimal fraction],वर्ग ज्ञात करने में,आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन[integration by using partial fractions].
 उदाहरण: --वर्ग निकालने के लिए--(यहाँ केवल 5 से अंत होने वाली संख्याओं की बात की जा रही है)--
25 का वर्ग:यहाँ पूर्व का अंक(संख्या) है 2 .----->2 का एकाधिक है 3.
अब अंतिम हल है 2x3\25------->वर्गफल के दुसरे भाग में हमेशा 25 ही होगा.
इस तरह 25 का वर्ग=625.
35 का वर्ग=3x4\25=1225,
175 का वर्ग=17x18\25=30625,
995 का वर्ग=99x100\25=990025.इत्यादि.


2.निखिलं नवतः चरमं  दशतः

 अर्थ: सभी  9 में से, अंत वाला  10 में से
 प्रयोग: संख्याओं के गुणा और भाग में,रेखांक ज्ञात करने में.
 उदाहरण:--आधार(10,100,1000,10000,...) के प्रयोग से गुणा--                    9998x6543=        

  9998   -0002 ----->आधार 10000-9998* 
  6543   -3457-----> आधार 10000-6543**
-------------------
  6541  \ 6914 ------>6541=9998-3457 या 6543-2;6914=-2 x -3457
-------------------
 अतः 9998x6543=65416914 होगा.

सूत्र का प्रयोग कहाँ हुआ ?--->10000-6543= . यहाँ सभी अंकों को 9 से घटाएंगे और अंतिम/चरम अंक को 10 में से घटाएंगे. इस सूत्र के प्रयोग से मन में ही घटाकर सीधे लिखेंगे. 
*9998,10000 से 2 कम है इसलिए -2 लिखा गया.
**इसी प्रकार 6543,10000 से 3457 कम है इसलिए -3457 लिखा गया.
#अगर *,** में कम न हो करके अधिक होता तो ऋणात्मक चिन्ह नहीं लिखा जाता.

3.ऊर्ध्व-तिर्यग्भ्याम्[vertically and crosswise]:

 अर्थ: सीधा/ऊर्ध्वाधर और तिरछा/तिर्यक
 प्रयोग: संख्याओं के गुणा,बीजगणितीय[algebraic] गुणा ,साथ ही इनके भाग में भी,वर्गमूल ज्ञात करने में.
 उदाहरण:--सामान्य गुणा-- 124x235=

  2.1=2;  2.2+3.1=7;  2.4+3.2+5.1=19;  3.4+5.2=22;  5.4=20

बाएं से दायें----------------------------------------

दायें से बाएं----------------------------------------  

यहाँ 2;7;19;22;20 को दो तरह से लिखा गया है -

बाएं से दायें उत्तर पाने के लिए ध्वजांक को बाएं से उठाकर दायें में जोड़िये*.इसी तरह दायें से बाएं में ठीक विपरीत कार्य करना है.

*यदि दो अंक आ जाये तो दहाई अंक पहले वाले में जोड़ा जायेगा.

इस कारण से दायें से बाएं ,ज्यादा आसान लगता है अधिकतर लोगों को.

दोनों ओर से गुणनफल एक ही आएगा. 124x235=29140.

4.परावर्त्य योजयेत्[transpose and apply]:

 अर्थ: पक्षान्तरण तथा अनुप्रयोग
 प्रयोग: भाग करने में,जटिल समीकरणों को हल करने में.
 उदाहरण: --भाग--13799/113 जहाँ पर भाजक ,आधार 10,100,...के निकट ऊपर हो .
  

यहाँ Q=122 और R=13 है ,हम इसपर बाद में विस्तार से बात करेंगे.

5.शून्यं साम्यसमुच्चये

 अर्थ: जब समुच्चय एक समान है तब उस समुच्चय का मान शून्य होता है.
 सामान्य समीकरणों को आसानी से हल करने में अच्छा है यह सूत्र.

यहाँ समुच्चय के 6 अर्थ निकलते हैं.जिनके बारे में आगे बताया जायेगा.

प्रयोग: सरल समीकरणों को हल करने में.

उदाहरण: --समुच्चय के पहले अर्थ (सार्वगुणनखंड) का अनुप्रयोग--
 समी० 9(x+1)=5(x+1) को हल करने के लिए सीधे लिखेंगे x+1=0.         =>x=  -1
*9 और 5 का कोई प्रभाव नहीं है हल पर इसीलिए 9 से और 5 से गुणा करना और फिर जोड़-घटाव करने के बाद हल पाना उपयुक्त नहीं है.

6.(आनुरूप्ये) शून्यंमन्यत्

 अर्थ: प्रयोग में इसका अर्थ है -यदि एक अनुपात में है तो दूसरा शून्य है.

 प्रयोग:एक विशिस्ट प्रकार के युगपत[simultaneous] सरल समीकरण को हल करने में.
 उदाहरण:
                5x+6y=3
                10x+18y=6
 यहाँ x के गुणांकों का अनुपात तथा अचर पदों का अनुपात एक ही है--
5:10;  3:6.  इसलिए सूत्र से, दूसरा अर्थात y शून्य होगा.
इस तरह से x=3/5 होगा.

7.संकलन व्यवकलनाभ्याम्

अर्थ: जोड़ने तथा घटाने द्वारा
प्रयोग: वैसे युगपत समी० को हल करने में ,जिनमे x-गुणांक तथा y-गुणांक अदल-बदल कर दिए हों.

उदाहरण: 
             5x-3y=11
             3x-5y=5
संकलन(जोड़ने पर)--  8x-8y=16 =>8(x-y)=16 =>x-y=2
व्यवकलन(घटाने पर)--  2x+2y=6 =>2(x+y)=6 =>x+y=3

इसलिए x=5/2,y=1/2.

8.पूरणापूरणाभ्याम्

अर्थ: पूर्ण या अपूर्ण(बिना पूर्ण) करने से.

प्रयोग:वर्ग,घन,चतुर्घात इत्यादि को पूर्ण करके या किये बिना समीकरणों को हल करने में.
* पारंपरिक गणित में इसका प्रयोग पहले से ही किया जा रहा है(solution by completing square).

उदाहरण: द्विघात को पूर्ण करके हल करना--
x^2 +2x-8 = 0    =>x^2 +2.1.x+ 1^2 -8 -1^2 =0
                           =>x^2 +2x+1 -9=0
                           =>x^2 +2x+1 = 9
                           =>(x+1)^2=9  =>x+1 =3 या -3
इस प्रकार x = 2 या -4 होगा.



9.चलनकलनाभ्याम्

अर्थ:चलन-कलन की क्रियाओं द्वारा
प्रयोग: द्विघात समीकरणों को हल करने में. अन्य स्थानों में भी.
उदाहरण: x² + 5x + 4 = 0 
 इसका विविक्त्कर D=5^2 - 4.1.4=25-16=9
  x² + 5x + 4 का प्रथम अवकलज(first differential) होगा=2x+5
इस सूत्र के अनुसार 2x+5=(D का वर्गमूल) =>2x+5=+3 या 2x+5=-3
अतः x=-1 या -4 होगा.

10.यावदूनम

अर्थ: जितने का विचलन(कमी/अधिकता)है/जितना कम है.

प्रयोग:किसी संख्या का घन निकालने में.

उदाहरण: 103 का घन----यहाँ (आधार 100 से) विचलन +3 है.

घन निकालने के तीन चरण(step) हैं 1).जितना विचलन है उसका दुगुना विचलन और करो---  103+6=109   2).विचलन को विचलन के तिगुने से गुणा करो---  3x9=27   3).विचलन का घन =3^3=27

इस तरह 103 का घन है:-103^3 =109\27\27=1092727.

11.व्यष्टिसमष्टिः

अर्थ: इसका प्रायोगिक अर्थ हो सकता है--समष्टि(समूह) से व्यष्टि(एकल) में बदलकर.

प्रयोग: चतुर्घात समीकरणों--जिनके LHS में दो द्विपदों के चतुर्घातों का योग रहता है और RHS में कोई निश्चित संख्या होता है--के गुणनखंडन करने में.
उदाहरण: (x+7)^4 +(x+5)^4 =706 
 --दोनों द्विपदों के औसत, x+6 को y मान लेते हैं.
तब, (y+1)^4 +(y-1)^4 =706
 =>2y^4 +12y^2+2                                   --  [y^3 और y कट गए]
 =>y^4 +6y^2 -352 = 0 
 =>y^2 =16 या -22
और इस तरह y का मान ज्ञात किया जाता है.

*यह सूत्र कभी कभी इस तरह के सवालों के लिए भी लागु नहीं होता है.

12.शेषाण्यङ्केन चरमेण

अर्थ: अवशेष को अंतिम अंक के द्वारा.

प्रयोग: विशेष भाग/दशमलव भिन्न की क्रियाओं में.

उदाहरण: 1/7=  

 7 से 1 को भाग देने में,भजनफल(quotient) में दशमलव लिखने पर अब १ला भाज्य है 10---शेष=3

२.Q=4;R=2 ३.Q=2;R=6  ४.Q=8;R=4  ५.Q=5;R=5  

यहाँ शेष(अवशेष)है :1(सबसे पहले),3(पहले भाग से),2,6,4,5 ---इसके बाद फिर वही क्रम शुरू हो जायेगा.

उत्तर पाने के लिए इन अवशेषों को 7 से गुणा करेंगे और गुणनफल का अंतिम अंक लिखेंगे-

3x7=21 ---- 1  ---3 २रा अवशेष है----- सबसे पहले का अवशेष सबसे अंत में गुणा होगा.

2x7=14 ----  4

6x7=42 ----  2

4x7=28 ----  8

5x7=35 ----  5

1x7=7  ----   7  --------यहाँ 1 सबसे पहला अवशेष है.

इस तरह 1/7=0.142857

13.सोपान्त्यद्वयमन्त्यम्

अर्थ: अंतिम तथा उपान्तिम का दुगुना

प्रयोग: 1/A.B +1/A.C = 1/A.D +1/B.C के प्रकार के समीकरण हल करने में.(A,B,C,D समान्तर श्रेढ़ी में हैं).

उदाहरण: 

A=(x+2),B=(x+3),C=(x+4),D=(x+5) ---यहाँ अंतिम है (x+5) और उपान्तिम है (x+4)

 इसलिए (x+5) + 2(x+4)=0  => x = -13/3.

14.एकन्युनेन पूर्वेण

अर्थ: पूर्व वाले से एक कम द्वारा.

प्रयोग: उन संख्याओं के गुणन में प्रयुक्त होता है जिनके गुणक में सभी अंक 9 होते हैं.

उदाहरण: 783x999 = 

 यहाँ पूर्व 9 वाले को नहीं मानना है दूसरा वाला हमेशा ही पूर्व के रूप में माना जायेगा.

अब पूर्व का एकन्यून है -- 783-1=782

 इसलिये गुणनफल होगा--- 782\(999-782) =782217.

15.गुणितसमुच्चयः

 इस सूत्र तथा अगले सूत्र में समुच्चय का अलग अलग अर्थ है और उसके साथ गुणित या अगले सूत्र में गुणक लगा है.हम सूत्र का प्रायोगिक अर्थ देखेंगे.

अर्थ: गुणनखंडो के गुणांकों के योग का गुणनफल, गुणनफल के गुणांकों के योग के बराबर होता है(S' of the product=product of S' of the factors; where S'  stands for sum of co-efficients).
जैसे- 3x^2+5x+2=(x+1)(3x+2)
गुणनखंडों के गुणांको के योग का गुणनफल=(1+1)(3+2)=10
गुणनफल(3x^2+5x+2) के गुणांको का योग=3+5+2=10.

प्रयोग: गुणनखंडों और गुणांकों में संबंध स्थापित कर गुणनखंडन करने में.

उदाहरण: x^3 +6x^2 +11x+6 का गुणनखंडन----

हमें ज्ञात है कि (x+1) इसका एक गुणनखंड है. 'आद्यम् आद्येन' के प्रयोग से (x+1)(x^2 +......+6); अब सूत्र के प्रयोग से---
(1+1)(1+......+6)=(1+6+11+6) अर्थात् रिक्त स्थान में 5 होना चाहिए.

इस प्रकार हम पाते हैं (x+1)(x^2 +5x +6)=(x+1)(x+2)(x+3).

16.गुणक समुच्चयः

अर्थ: यदि द्विघात व्यंजक दो द्विपदों (x+a) तथा (x+b) का गुणनफल है,तब इसका प्रथम अवकलन दोनों गुणनखण्डों का योग होता है आदि आदि*.(if and when a quadratic expression is the product of the binomials (x+a) and (x+b), its first differential is the sum of the said two factors and so on.)

--इसको (x+6)(x-5) लिख सकते है.  अगर इस द्विघात समी० का प्रथम अवकलन D1 हो तो,
 D1= गुणनखंडो का योग =>2x+1= (x+6) + (x-5).
*यह कार्य तो हमने चलन-कलन सूत्र से भी किया था किन्तु इस सूत्र से अधिक घात वाले व्यंजको का एक से अधिक कलन D2,D3 आदि के साथ भी कार्य किया जाता है.

प्रयोग: गुणनखंडन करने में और अवकल(differentiation) ज्ञात करने में.